BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.Banyak yang tidak menduga bahwa nol sebenarnya sangat berbahaya dan dapat menjadi bom penghancur yang sangat dahsyat.Sebagai buktinya adalah kisah nyata yang terjadi pada tanggal 21 September 1997.
Kapal perang USS Yorktown ketika sedang menyusuri lepas pantai Virginia, kapal peluncur misil berharga jutaan dolar amerika itu tiba-tiba macet dan menimbulkan kecemasan bagi semua awak kapal.Ketika sistem komputasi Yorktown baru saja mengoperasikan sebuah software baru pengatur kerja mesin, angka nol yang seharusnya dihilangkan, terlewatkan dan tersembunyi hingga akhirnya software tersebut mengaktifkan dan menguncinya.Mesin yang berkekuatan 80.000 tenaga kuda tersebut tak dapat berfungsi.Kapal tidak bergerak hampir tiga jam.Akibat kejadian ini, para teknisi membutuhkan waktu dua hari untuk menghapus angka nol dan Yorktown dapat beroperasi kembali.
Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasilkan bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris.Operasi numeris mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Membaca uraian di atas, jelas bahwa bilangan memiliki pengaruh yang sangat besar bagi kehidupan umat manusia.Dapatkah terbayangkan bagaimana bila kehidupan di dunia ini tidak mengenal konsep bilangan? Bagaimana cara manusia melakukan berbagai aktivitas kehidupan sehari-hari mulai dari yang paling sederhana hingga yang paling kompleks sekalipun? Bagaimana manusia dapat menghitung berapa lama ia telah hidup? Bagaimana caranya melakukan kegiatan jual beli?Tentu sangat sulit bukan? Oleh karena itu, alangkah bagusnya jika kita mengenal konsep dasar mengenai bilangan, seperti apa itu bilangan? Bagaimana sejarah bilangan berkembang hingga menjadi seperti bilangan yang kita gunakan saat ini?Siapa-siapa saja yang telah berjasa dalam menemukan dan mengembangkan konsep bilangan?dan bagaimana aplikasi teori bilangan itu sendiri ?
1.2. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat diidentifikasi masalah-masalah dalam penulisan ini sebagai berikut :
1. Bagaimana cara manusia melakukan berbagai aktivitas kehidupan sehari-hari
2. Bagaimana manusia menghitung berapa lama ia telah hidup tanpa konsep bilangan.
3. Bagaimana cara manusia melakukan kegiatan jual beli tanpal konsep bilangan
4. Bagaimana sejarah bilangan berkembang hingga kita gunakan saat ini.
5. Siapa yang telah berjasa dalam menemukan dan mengembangkan konsep bilangan.
1.3. Batasan Masalah
Dengan adanya beberapa masalah yang teridentifikasi, maka perlu dilakukan pembatasan masalah agar penulisan ini dapat dilakukan secara lebih terarah. Berdasarkan permasalahan yang telah teridentifikasi maka dalam penulisan ini pembatasan masalah tersebut adalah :
1. Bagaimana sejarah bilangan berkembang hingga menjadi kita gunakan saat ini.
2. Siapa yang telah berjasa dalam menemukan dan mengembangkan konsep bilangan.
3. Bagaimana aplikasi teori bilangan itu sendiri.
1.4. Tujuan Penulisan
Dari batasan masalah yang diberikan maka tujuan yang akan dicapai adalah :
1. Untuk mengetahui bagaimana sejarah bilangan berkembang hingga menjadi seperti
bilangan yang kita gunakan saat ini.
2. Untuk mengetahui siapa-siapa saja yang telah berjasa dalam menemukan dan
mengembangkan konsep bilangan.
3. Untuk mengetahui bagaimana aplikasi teori bilangan itu sendiri.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1. Sejarah Perkembangan Teori Bilangan
Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut.Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim.Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :
· Simbol bilangan bangsa Babilonia.
· Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM.
· Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno.
· Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia.
· Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno.
· Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini.
· Sejarah perkembangan teori bilangan dapat dikelompokkan menjadi dua masa, yaitu :
2.1.1. Teori Bilangan pada Masa Prasejarah (Sebelum Masehi)
Konsep bilangan dan proses berhitung berkembang dari zaman sebelum ada sejarah (artinya tidak tercatat sejarah kapan dimulainya). Mungkin bisa diperdebatkan, tapi diyakini sejak zaman paling primitif pun manusia memiliki “rasa” terhadap apa yang dinamakan bilangan, setidaknya untuk mengenali mana yang “lebih banyak” atau mana yang “lebih sedikit” terhadap berbagai benda.
Hal ini dibuktikan dengan ditemukannya benda matematika tertua, yaitu tulang Lebombo di pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35.000 SM. Tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda. Selain itu, ditemukan juga artefak prasejarah di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur 20.000 tahun, yang menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu. Tulang Ishango, ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu.Tafsiran umum adalah bahwa tulang Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan prima.
2.1.1.1 Teori Bilangan pada Suku Bangsa Babilonia
Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik.Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar.Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani.Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika IslamBertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.
Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.
Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi yang akurat sampai lima tempat desimal.
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal.
Sistem Numerasi Babylonia (±2000 SM), pertama kali orang yang mengenal bilangan 0 (nol) adalah Babylonian.
2.1.1.2 Teori Bilangan pada Suku Bangsa Mesir Kuno
Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir.Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik.Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir. Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.
Sistem Numerasi Mesir Kuno (±3000 SM) bersifat aditif, dimana nilai suatu bilangan merupakan hasil penjumlahan nilai-nilai lambang-lambangnya.
2.1.1.3 Teori Bilangan pada Suku Bangsa India
Sulba Sutras (kira-kira 800-500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras. Panini (kira-kira abad ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner.Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial.Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.
Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri.Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit.Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.
Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid.Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan.Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga.Kata algoritma berasal dari algorism.Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism.Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.
Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid).Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.
Berikut ini adalah Simbol-simbol bilangan yang ditemukan :
2.1.2 Teori Bilangan pada Masa Sejarah (Masehi)
Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics. Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.
2.2 Definisi Bilangan
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang bersifat abstrak yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Misalnya, tulisan atau ketikan : 1 yang terlihat saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan 1 yang tertangkap oleh indera penglihatan berkat keberadaan unsur-unsur kimia yang peka cahaya dan digunakan untuk menampilkan warna dan gambar. Demikian pula jika kita melihat lambang yang sama di papan tulis, yang terlihat bukanlah bilangan 1, melainkan serbuk dari kapur tulis yang melambangkan bilangan 1.
2.3 Bilangan dan Himpunan Bilangan
Pada zaman sekarang ini, sistem penulisan bilangan yang dikenal adalah penulisan yang dikembangkan oleh bangsa Arab (Angka Arab) dengan angka pokoknya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sedangkan angka yang lebih dari 9, ditulis dengan mengkombinasikan angka-angka pokok tadi. Untuk keperluan menghitung, maka orang-orang mulai memerlukan “bilangan penghitung” (counting number) yaitu bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, ... dan seterusnya. Dimana bilangan penghitung tersebut sekarang ini dikenal dengan nama bilangan-bilangan asli, dan apabila bilangan-bilangan asli dihimpun menjadi sebuah himpunan, dan sebutlah himpunan itu dengan N, maka di dalam matematika, himpunan semua bilangan asli N tersebut dikenal sebagai N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }.
Untuk keperluan lainnya kemudian orang memperluas bilangan asli menjadi bilangan bulat, sehingga munculah himpunan semua bilangan bulat. Di dalam bahasa asing disingkat “I” (integer), himpunan bilangan bulat I dinyatakan dengan I = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. dari bilangan bulat diperluas menjadi bilangan rasional.
Bilangan rasional biasanya diberi nama dengan “Q” singkatan dari Quotient yang berarti rasio atau perbandigan. Himpunan bilangan rasional Q dinyatakan dengan Q = { }.
Karena , hubungan ketiga himpunan bilangan tersebut dapat digambarkan melalui diagram venn
berikut:
Kemudian untuk keperluan tertentu orang-orang menciptakan bilangan Irasional, apabila himpunan semua bilangan irasional diberi nama H, maka himpunan semua bilangan irasional H dan himpunan semua bilangan rasional Q merupakan dua buah himpunan yang saling lepas, sehingga H Q = (himpunan kosong) sedangkan gabungan dari himpunan rasional dan irasional disebut himpunan semua bilangan real R atau H Q = RHubungan antara kelima himpunan N, I, Q, H, dan R dapat diperlihatkan oleh diagram Venn berikut:
Bilangan yang bukan merupakan bilangan real disebut “bilangan imajiner” dan biasanya diberi nama dengan huruf i atau i = . Dengan dikenalnya bilangan imajiner maka kita akan mengenal bilangan kompleks dan diberi nama C, yang dinyatakan sebagai
2.4 Macam-Macam Bilangan
2.4.1 Bilangan Asli ( N )
Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur himpunan N={1, 2, 3, 4, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukan beberapa jenis kera besar (inggris:apes) juga bisa mempelajarinya. Bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, membagi dsb.Bilangan asli dapat digunakan untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat terhitung suatu himpunan.
2.4.2 Bilangan Cacah (C)
Bilangan cacah adalah bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu C= {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah 0.
2.4.3 Bilangan Bulat ( I )
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu.Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung.Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan
- Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan negatif
- Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan positif
2.4.4 Bilangan Rasional ( H )
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai dimana a dan b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan rasional merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau lebih dari utuh, terdiri dari pembilang dan penyebut.Pembilang merupakan bilangan yang terbagi, sedangkan penyebut merupakan bilangan pembagi.
2.4.5 Bilangan Irasional ( Q )
Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi atau hasil baginya tidak pernah berhenti. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dengan a/b. dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0 (nol). Contoh yang paling popular dari bilangan irasional adalah bilangan , dan bilangan e.
Bilangan sebetulnya tidak tepat = 3,14 tetapi = 3,1415926535... atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 ... Untuk bilangan yaitu bernilai = 1,41421356237309504880168872 ... atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798 ... (hingga 700 digit belum selesai, yang ditemukan oleh pakar matematika Jepang dengan batuan komputer ), untuk bilangan e yaitu bernilai = 2,7182818 ...
2.4.6 Bilangan Riil ( R )
Bilangan riil atau real number menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339 ... atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan , dan bilangan irasional seperti dan bilangan akar, juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan riil meliputi kelas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Arhimides.
2.4.7 Bilangan Imajiner
Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat . Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks.Selain bagian imajiner, bilangan komplek mempunyai bagian riil. Secara definisi, bagian bilangan imajiner ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik atau
2.4.8 Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk . Dimana a dan b adalah bilangan riil dan I adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat . Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali dan dibagi seperti bilangan riil, namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik.Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Selain bilangan-bilangan di atas, juga terdapat beberapa bilangan lainnya, yaitu :
2.4.9 Bilangan Nol
Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, Sejarah diketemukannya bilangan nol adalah sekitar 300 SM, orang Babilonia telah memulai penggunaan dua baji miring (//) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong pada abax (alat hitung pertama bangsa Babilonia, lebih dikenal dengan abacus).
Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan dan cenderung ke arah yang salah, ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan nol. Hal ini terus menjadi topik penelitian pada saat itu, bahkan sampai 200 tahun kemudian. Misalnya tahun 830, Mahavira (India) mempertegas hasil-hasil Brahmagupta, dan bahkan menyatakan bahwa “sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap”.Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab.Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh.Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan desimal.
2.4.10 Bilangan Sempurna
Bilangan sempurna adalah bilangan bulat yang juga merupakan jumlah dari pembagi positifnya, tidak termasuk bilangan itu sendiri.Oleh karena itu, 6 adalah bilangan sempurna, karena 1, 2, dan 3 adalah pembagi dari 6, dan 1 + 2 + 3 = 6.Bilangan sempurna berikutnya adalah 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.Diikuti dengan 496, dan 8128.Hanya empat bilangan sempurna yang pertama inilah yang diketahui oleh ahli zaman Yunani Kuno.
Saat ini, telah ditemukan rumus dari bilangan sempurna, sehingga kita dapat mencari bilangan sempurna lainnya selain 6, 28, 496, dan 8128. Rumus tersebut adalah :
Bilangan sempurna =
2.4.11 Bilangan Bersekawan
Dua buah bilangan a dan b dikatakan bersekawan apabila jumlah faktor prima dari bilangan a sama dengan bilangan b dan jumlah faktor prima dari bilangan b sama dengan bilangan a. Contohnya adalah bilangan 220 dengan 284; faktor prima dari 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110, dimana jumlahnya sama dengan 284, dan faktor prima dari 284 adalah 1, 2, 4, 71 dan 142, dimana jumlahnya sama dengan 220.
Beberapa pasangan bilangan bersekawan lainnya adalah (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), dan (6232, 6368).Bilangan-bilangan tersebut dapat digambarkan dalam sebuah bagan bilangan berikut :
2.5 Beberapa Tokoh Teori Bilangan Legendaris
2.5.1 Pythagoras (582 SM . 496 SM)
Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.
2.5.2 Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)
Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p. Sayangnya, jauh di kemudian hari, hasil ini dikenal sebagai Teorema Wilson, bukan Teorema Al-Haytam. Teorema ini disebut Teorema Wilson setelah Warring pada tahun 1770 menyatakan bahwa John Wilson telah mengumumkan hasil ini. Selain dalam bidang matematika, Al-Haytam juga dikenal baik dalam dunia fisika, yang mempelajari mekanika pergerakan dari suatu benda. Dia adalah orang pertama yang menyatakan bahwa jika suatu benda bergerak, akan bergerak terus menerus kecuali ada gaya luar yang memengaruhinya. tidak lain adalah hukum gerak pertama, umumnya dikenal sebagai hukum Newton pertama.
2.5.3 Jamshid Al-Kashi (1380 M)
Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah Iran Tengah. Selama hidupnya, Al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan penting bagi astronomi dan matematika.
Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh Al-Kashi.Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.
Segitiga Pascal pertama kali diketahui dari sebuah buku karya Yang Hui yang ditulis pada tahun 1261, salah seorang ahli matematika Dinasti Sung yang termasyhur.Namun, sebenarnya segitiga tersebut telah dibahas dalam buku karya Al Kashi yang disebut dengan Segitiga Khayyam.Dan kita semua tahu bahwa ilmu di Cina dan Persia itu sudah tua.Sedangkan segitiga Pascal yang dibahas oleh Peter Apian, seorang ahli Aritmatika dari Jerman baru diterbitkan pada 1527.Sehingga bisa disimpulkan bahwa Segitiga Khayyam muncul terlebih dulu sebelum segitiga Pascal.
2.5.4 Pierre de Fermat
Pierre de Fermat meninggal pada tahun 1665.Dewasa ini kita mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup.Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendik suatu buku teks. Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu.
Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah “Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus.Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa tidak mempunyai solusi bilangan bulat tak nol untuk x, y dan z, jika n > 2.
Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian.Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapat bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat.
2.5.5 Joseph-Louis de Langrange (25 Januari 1736 . 10 April 1813)
Joseph-Louis de Lagrange (lahir dengan nama Giuseppe Luigi Lagrangia) adalah seorang matematikawan dan astronom Perancis-Italia yang membuat sumbangan penting pada mekanika klasik, angkasa dan teori bilangan. Dilahirkan di Turin, ia adalah campuran Italia dan Perancis.Ayahnya ialah orang kaya, namun suka menghambur-hamburkan kekayaannya.Belakangan dalam hidupnya, Lagrange menyebutnya sebagai bencana yang menguntungkan karena, "jika saya mewarisi kekayaan mungkin saya tidak akan mempertaruhkan nasib saya dengan matematika”.
Berpaling pada matematika dengan membaca sebuah esai tentang kalkulus, dengan cepat ia menguasai subjek tersebut. Pada usia 19 tahun, ia memulai karyanya (mungkin yang terbesar), Mecanique analitique, meski tak diterbitkan sampai ia berusia 52 tahun. Karena tiadanya diagram yang lengkap, komposisi terpadu, William Rowan Hamilton menyebut bukunya sebagai "sajak ilmiah".
Pada saat Lagrange mengirim beberapa hasil karyanya kepada Leonhard Euler, Euler sadar akan kecemerlangan Lagrange dan menunda menerbitkan sejumlah karyanya sendiri yang berkaitan agar Lagrange-lah yang bisa menerbitkannya pertama kali (contoh langka tentang sifat seorang akademikus yang tak mementingkan diri sendiri).
Kariernya masyhur; pada usia 20 tahun ia adalah matematikawan istana pada Raja Prusia Friedrich yang Agung di Berlin dan kemudian guru besar di Ecole normale di Paris. Selama Revolusi Prancis, ia adalah favorit Marie Antoinette dan kemudian Napoleon. Di Paris, ia membantu menyempurnakan sistem metrik tentang berat dan ukuran.
2.5.6 Adrien-Marie Legendre (18 September 1752 . 10 Januari 1833)
Adrien-Marie Legendre ialah matematikawan Perancis.Ia membuat sumbangan penting atas statistik, teori bilangan, aljabar abstrak dan analisis matematika. Kebanyakan karyanya disempurnakan oleh ilmuwan lainnya (karyanya pada akar polinomial mengilhami teori Galois; karya Abel pada fungsi elips dibangun pada Legendre; beberapa karya Gauss dalam statistik dan teori bilangan yang melengkapi teori Legendre).
Pada tahun 1830 ia memberikan bukti pada teorema akhir Fermat untuk eksponen n = 5, yang diberikan hampir secara serentak oleh Dirichlet pada 1828. Dalam teori bilangan, ia mengkonjekturkan hukum timbal balik kuadrat, yang kemudian dibuktikan Gauss. Ia juga melakukan karya pioner pada prima, dan pada penerapan analisis pada teori bilangan. Konjekturnya dari teorema bilangan prima dengan tepat dibuktikan oleh Hadamard dan de la Vallee-Poussin pada 1898.
2.5.7 Johan Carl Friedrich Gauss (30 April 1777 . 23 Februari 1855)
Gauss adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi.Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Dilahirkan di Braunschweig, Jerman, saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya. Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu.
2.5.8 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 Februari 1805-5 Mei 1859)
Dirichlet ialah matematikawan Jerman yang dihargai karena definisi "formal" modern dari fungsi. Keluarganya berasal dari kota Richelet di Belgia, dari yang nama belakangnya "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelet" = "anak muda dari Richelet") diturunkan, dan di mana kakeknya tinggal.
Dirichlet lahir di Duren, di mana ayahnya merupakan kepala kantor pos. Ia mendapatkan pendidikan di Jerman, dan kemudian Prancis, di mana ia belajar dari banyak matematikawan terkemuka saat itu. Karya pertamanya ialah pada teorema akhir Fermat. Inilah konjektur terkenal (kini terbukti) yang menyatakan bahwa untuk , untuk persamaan tak memiliki solusi bilangan bulat, selain daripada yang trivial yang mana itu 0. Ia membuat bukti parsial untuk kasus n = 5, yang dilengkapi oleh Adrien-Marie Legendre. Dirichlet juga melengkapi pembuktiannya sendiri hampir di saat yang sama; kemudian ia juga menciptakan bukti penuh untuk kasus n = 14. Setelah kematiannya, ceramah Dirichlet dan hasil lain dalam teori bilangan dikumpulkan, disunting dan diterbitkan oleh kawannya dan matematikawan Richard Dedekind dengan judul Vorlesungen uber Zahlentheorie (Ceramah pada Teori Bilangan).
2.5.9 Benjamin Peirce (4 April 1809 . 6 Oktober 1880)
Benjamin Peirce ialah seorang matematikawan Amerika yang mengajar di Universitas Harvard selama kira-kira 50 tahun.Dia bersumbangsih dalam bidang mekanika benda langit, teori bilangan, aljabar, dan filsafat matematika.
Setelah tamat dari Harvard, dia menjadi seorang asisten dosen (1829), dan kemudian diangkat menjadi dosen matematika pada 1831.Di dalam teori bilangan, dia membuktikan bahwa tidak ada bilangan sempurna ganjil yang kurang dari empat faktor prima.Di dalam aljabar, dia dikenal atas pengkajiannya pada aljabar asosiatif. Dia pertama mengajukan istilah idempoten dan nilpoten pada 1870 untuk menjelaskan unsur-unsur aljabar ini, dan dia juga memperkenalkan penguraian peirce.
2.6 Aplikasi Teori Bilangan
2.6.1 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Teknologi
Sistem bilangan atau number system adalah suatu cara untuk mewakili besaran suatu item fisik. Sistem bilangan menggunakan bilangan dasar atau basis (base/radix) tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu: Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelasan mengenai 4 sistem bilangan ini:
a. Desimal (Basis 10)
Desimal (Basis 10) adalah sistem bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction).Untuk melihat bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut, misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598.
Ini dapat diartikan Dalam gambar di atas disebutkan Absolut Value dan Position Value.Setiap simbol dalam sistem bilangan desimal memiliki bentuk Absolut Value dan Position Value. Absolut Value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan.Sedangkan Position Value adalah nilai penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya.
b. Biner (Basis 2)
Biner (Basis 2) adalah sistem bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 2 dan 1.Bilangan biner ini dipopulerkan oleh John Von Neuman.Contoh bilangan biner ini adalah 1001, ini dapat diartikan (di konversi ke sistem bilangan desimal). Position Value dalam sistem bilangan biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis). Berarti, bilangan biner 1001 .
c. Oktal (Basis 8)
Oktal (Basis 8) adalah sistem bilangan yang terdiri dari 8 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Contoh oktal adalah 1024, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan desimal). Position Value dalam sistem bilangan oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8 (basis).
d. Hexadesimal (Basis 16)
Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan desimal berarti 10 adalah sistem bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada sistem bilangan hexsadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf.Huruf A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai huruf F mewakili angka 15.
Contoh hexadesimal F3D4, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan desimal). Position Value dalam sistem bilangan hexsadesimal merupakan perpangkatan dari nilai 16 (basis).
2.6.2 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Sains
Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah pada suhu , sehingga pH-nya 7.
Satuan bel(dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan.Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik.Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telingan manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik.Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0,1 bel, lebih sering digunakan.
Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
2.6.3 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Ekonomi
Menganalisis dan mengevaluasi strategi penyelesaian masalah serta menemukan strategi penyelesaian masalah yang baru.Matematika dapat digunakan untuk menyeleksi atau menyaring data yang ada.Seperti tes seleksi calon PNS, Polisi, TNI, pelajar, mahasaiswa atau karyawan menggunakan tes tulis dengan materi matematika (biasanya logika dan berhitung) untuk mengetahui kemampuan berpikir cepat dan dapat menyelesaikan masalah.Dalam bidang teknik matematika digunakan seperti teknik informatika atau komputer menggunakan konsep bilangan basis, teknik industri atau mesin matematika digunakan untuk menentukan ketelitian suatu alat ukur atau peralatan yang digunakan.Bidang ekonomi menggunakan konsep fungsi untuk memprediksikan produksi maupun penjualan.
2.6.4 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Musik
Teori Musik sering menggunakan matematika untuk memahami musik. Memang, matematika adalah “dasar suara” dan suara itu sendiri “dalam aspek musik nya menunjukkan array yang luar biasa dari sifat nomor”, hanya karena alam itu sendiri “adalah matematika luar biasa”.Meskipun kuno, Cina, Mesir dan Mesopotamians diketahui telah mempelajari prinsip-prinsip matematika suara, dengan ilmu Pythagoras dari Yunani kuno adalah peneliti pertama yang diketahui telah menyelidiki ekspresi skala musik dalam hal rasio numerik, khususnya rasio bilangan bulat kecil.Doktrin utama mereka adalah bahwa “seluruh alam terdiri dari harmoni timbul dari nomor”.
Dari waktu Plato, harmoni dianggap sebagai cabang dasar fisika, sekarang dikenal sebagai musik akustik.Awal teori India dan Cina menunjukkan pendekatan serupa.Semua berusaha untuk menunjukkan bahwa hukum-hukum matematika dari harmonisa dan ritme yang fundamental tidak hanya untuk pemahaman kita tentang dunia tetapi untuk kesejahteraan manusia.Konfusius, seperti Pythagoras, menganggap nomor kecil 1,2,3,4 sebagai sumber semua kesempurnaan.
Untuk hari ini matematika lebih berkaitan dengan akustik dibandingkan dengan komposisi, dan penggunaan matematika dalam komposisi secara historis terbatas pada operasi sederhana penghitungan dan pengukuran.Upaya untuk struktur dan mengkomunikasikan cara-cara baru penyusunan dan mendengar musik telah menyebabkan aplikasi musik teori himpunan, aljabar abstrak dan teori bilangan. Beberapa komposer telah memasukkan rasio Emas dan angka Fibonacci ke dalam pekerjaan mereka
Bentuk musik
Formulir Musik adalah rencana dimana sepotong pendek musik diperpanjang.The “Rencana” istilah juga digunakan dalam arsitektur, yang membentuk musik sering dibandingkan.Seperti arsitek, komposer harus memperhitungkan fungsi yang pekerjaan dimaksudkan dan sarana yang tersedia, berlatih ekonomi dan memanfaatkan pengulangan dan ketertiban.Jenis umum dikenal sebagai bentuk biner dan terner (“dua kali lipat” dan “tiga”) sekali lagi menunjukkan pentingnya nilai-nilai integral kecil terhadap kejelasan dan daya tarik musik.
2.6.5 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Filsafat
Filsafat membahas bilangan sebagai objek studi material artinya filsafat menjadikan bilangan sebagai objek sasaran untuk menyelidiki ilmu tentang bilangan itu sendiri.Objek material filsafat ilmu bilangan adalah bilangan itu sendiri.Bilangan itu sendiri dimulai dari yang paling sederhana, yakni bilangan asli, bilangan cacah, kemudian bilangan bulat, dan seterusnya hingga bilangan kompleks.Sebagai objek formal filsafat, bilangan dikaji hakikat. Pengkajian filsafat tentang bilangan misalnya mengenai apa hakikat dari bilangan itu, bagaimana merealisasikan konsep bilangan yang abstrak menjadi riil atau nyata, bagaimana penggunaan bilangan untuk penghitungan dan atau pengukuran.
2.6.6 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Hiburan (Permainan)
a. Ambil tanggal lahir kamu lalu kali 4, hasilnya tambah 13, hasilnya kali 25 lalu kurangi dengan 200, hasilnya tambah dengan bulan lahir kamu lalu hasilnya kali 2 terus kurangi dengan 40, hasilnya kali dengan 50 hasilnya lagi tambah dengan 2 digit terakhir tahun lahir kamu lalu hasilnya kurangi dengan 10500..berapa hasilnya?
b. Ambil dua digit terakhir tahun lahir kamu dan tambahkan dengan umurmu di tahun 2011. Berapa hasilnya? Selalu 111 kan?
c. Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi “tidak kelihatan”.Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam.Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu?Mari kita bermain-main sebentar dengan angka.Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga).Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit).Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246.
Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123. Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos. Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita coba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah 122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total adalah 20, 25, dan 45.Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545.Lakukan lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita peroleh 426. Iterasi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan. Namun, apakah mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini?
BAB III
PENUTUP
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan dan mengembangkan konsep-konsep matematika menjadi lebih luas, maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan konsep bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Sejarah telah membuktikan bahwa matematika, khususnya sistem bilangan pada awalnya tidak seragam, berbeda di tiap suku bangsa. Jadi matematika dalam kasus ini sistem bilangan, sangat mirip dengan bahasa, yakni berbeda di tiap suku bangsa, tapi pada prinsipnya bisa diterjemahkan satu sama lain. Dan sebagaimana bahasa inggris mendominasi bahasa yang digunakan di dunia, maka sistem bilangan basis 10 adalah yang paling banyak disepakati suku bangsa dan menjadi sistem bilangan internasional.Tapi seperti bahasa juga, sistem bilangan ini juga mengalami asimilasi, jadi walaupun menggunakan sistem bilangan basis 10 (desimal), 1 tahun tetap 12 bulan dan 1 jam tetap 60 menit.Kenapa tidak diseragamkan? Hal ini karena perbedaan akan membuat dunia lebih hidup dan indah.
DAFTAR PUSTAKA
Aditya., (2010), Sejarah Sistem Bilangan. [Online]. Tersedia: http://www. adit38.wordpress.com/2010/05/19/asal-usul-sistem-bilangan[13 Oktober 2010]
de Fermat, Pierre., (2010), [Online]. Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/ Pierre_de_Fermat [13 Oktober 2010]
Dinata, A., (2007), Aplikasi Teori Bilangan Bulat pada Sistem Barcode [Online], Vol 1 hal.10,
Tersedia: http//www.informatika.org/~rinaldi/Matdis/2006.../Makalah0607-100.pdf
[12 Oktober 2010]
Pengertian Sistem Bilangan., (2010), [Online]. Tersedia: http://www.scribd.com/doc/ 25769841/pengertian-sistem-bilangan [13 Oktober 2010]
Smartivun., (2008), Sejarah Bilangan dan Perkembangannya. [Online]. Tersedia: http:// simplemathlesson.blogspot.com/2009/02/sejarah-bilangan-dan-perkembangannya_20.html[13 Oktober 2010]
Wicaksono, K.N., (2007), Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari [Online], Vol 1 (1), 12 halaman. Tersedia :http://www.docstoc.com/docs/20504373/Penerapan-Teori-Bilangan-Bulat-dalam-Kriptografi-dan-Aplikasinya-dalam[12 Oktober 2010]
Kampus : STKIP Kusuma Negara
Program : S.1 Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Filsafat
Penyusun : Mohamad Aminudin
Romlah
Mia Mulyati
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Terikamasih